DSP理想濾波器，低通濾波器、高通濾波器、諧振、槽口濾波器算法

DSP數(shù)字濾波器處理信號的過程為：信號采樣并轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號、輸入信號通過傅里葉變換變?yōu)轭l域信號、輸入信號與濾波器進(jìn)行卷積、卷積輸出信號進(jìn)行逆卷積、最后通過信號重建算法進(jìn)行輸出。由此可見數(shù)字濾波器算法在信號處理過程中占有重要位置。

一個理想濾波器在頻域應(yīng)為一個從ω₁~ω₂的方波，如下公式

然而，理想濾波器在現(xiàn)實中不可實現(xiàn)。原因在于一個濾波器的滾降不可無限大。而且從計算上看來，為實現(xiàn)在頻域上的單周期方波，時域上需要無限長的波（非因果系統(tǒng)）。如將上面的理想濾波器變?yōu)闀r域信號，則有以下公式

由此可見為實現(xiàn)一理想濾波器，需要一個數(shù)字系統(tǒng)具有無限長度儲存空間，顯然是不可能的。在現(xiàn)實設(shè)計中，采用近似理想濾波的設(shè)計方式，以確保此濾波器在時域與頻域同時為有限長度。這意味現(xiàn)實濾波器在頻域上有滾降及波紋等不利影響，雖然這些非理想因素會影響信號質(zhì)量，但是通過設(shè)計可以將影響降低到可控范圍之內(nèi)。如在設(shè)計FIR濾波器時，通?？紤]以下近似理想濾波器形式

由上式可見實際濾波器由有限個系數(shù)與輸入信號組成。

在濾波器設(shè)計中，為了簡化設(shè)計通常首先設(shè)計其對應(yīng)的低通濾波器，然后再通過轉(zhuǎn)化變?yōu)楦咄ㄅc帶通濾波器。將低通濾波器變換為對應(yīng)的高通濾波器，采用下式

對應(yīng)時域沖擊響應(yīng)具有下式

當(dāng)需要增強或濾除特定頻率時，需要諧振器與槽口濾波器。諧振器在極點附近會產(chǎn)生較大的幅度響應(yīng)，從而加強此頻率的振幅同時大幅削弱其他頻率振幅。一個諧振器在具有以下形式

于此相反，將零點置于共振處，可使得響應(yīng)頻率的振幅為0. 根據(jù)此原理可構(gòu)建槽口濾波器，濾除特定頻率的信號，同時保持其他頻率的信號。一個槽口濾波器具有以下形式